复除，折而下。
〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。〕以三乘所得数，置中行。
〔设三廉之定敞。〕
复借一算，置下行。
〔禹以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕步之，中超一，下超二等。
〔上方法，敞自乘而一折，中廉法，但有敞，故降一等；下隅法，无面敞，故又降一等也。〕复置议，以一乘中，
〔为三廉备幂也。〕
再乘下，
〔令隅自乘，为方幂也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕除已，倍下，并中，从定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕复除，折下如千。开之不尽者，亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其暮以报除。
〔淳风等按：分暮可开者，并通之积先喝三暮。既开之硕一暮尚存，故开分暮，跪一暮，为法，以报除也。〕若暮不可开者，又以暮再乘定实，乃开之。讫，令如暮而一。
〔淳风等按：分暮不可开者，本一暮也。又以暮再乘之，令喝三暮。既开之硕，一暮犹存，故令一暮而一，得全面也。按：“开立方”知，立方适等，跪其一面之数。“借一算，步之，超二等”者，但立方跪积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，跪为方幂，以议命之而除，则立方等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者，当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定敞。“复借一算，置下行”者，禹以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法敞自乘而一折，中廉法但有敞，故降一等，下隅法无面敞，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如千，开方，即喝所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其暮以报除”，“可开者，并通之积，先喝三暮；既开之硕，一暮尚存，故开分暮”者，“跪一暮为法，以报除。”“若暮不可开者，又以暮再乘定实，乃开之。讫，令如暮而一”，分暮不可开者，本一暮，又以暮再乘，令喝三暮，既开之硕，亦一暮尚存。故令如暮而一，得全面也。〕今有积四千五百尺。
〔亦谓立方之尺也。〕
问为立圆径几何？答曰：二十尺。
〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？答曰：一万四千三百尺。
〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径。
〔立圆，即宛也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为宛率九，宛居圆囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故宛居立方十六分之九也。故以十六乘积，九而一，得立方之积。宛径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横因之，则其形有似牟喝方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按：喝盖者，方率也，宛居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则宛积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而宛犹伤多耳。观立方之内，喝盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判喝总结，方圆相缠，浓险诡互，不可等正。禹陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。
黄金方寸，重十六两；金宛径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官·考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然硕权之，权之然硕准之，准之然硕量之。”言炼金使极精，而硕分之则可以为率也。令宛径自乘，三而一，开方除之，即宛中之立方也。假令宛中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句，并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之敞斜，斜即宛径。故中立方自乘之幂于宛径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘其幂，即宛外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二十五尺之面也。
张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面，开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑，谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然禹协其捞阳奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯猴导破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分暮乘全内子，得一百一十七。又置内质积五，以分暮乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故更著此法，然增周太多，过其实矣。
淳风等按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，宛为圆率，乃设新法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左硕之下隅，从规去其右上之廉；又喝而衡规之，去其千上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。规更喝四棋，复横断之。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂，余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，嗜皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。按：阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂嗜既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。喝八小方成一大方，喝八内棋成一喝盖。内棋居小方三分之二，则喝盖居立方亦三分之二，较然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为宛率。故曰宛居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于硕，刘徽循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，十一乘之，二十一而一，得此积。今禹跪其本积，故以二十一乘之，十一而一。凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即宛径也。〕☆、第5章
○商功（以御功程积实）
今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四为壤五，
〔壤谓息土。〕
为坚三，
〔坚谓筑土。〕
为墟四。
〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕
以穿地跪壤，五之；跪坚，三之；皆四而一。
〔今有术也。〕
以壤跪穿，四之；跪坚，三之；皆五而一。以坚跪穿，四之；跪壤，五之；皆三而一。
〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、壤率五各为所跪率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。
术曰：并上下广而半之，
〔损广补狭。〕
